2009屆四川省雅安中學高三4月月考試題
數學 (理科)
一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的，請將答案涂在機讀卡上．）
1．設集合
，
，若
，則a的值為
A．4 B．－
2．不等式|x|?(1－2x)>0的解集是
A．
B．
C．
D．
3．設
、
是兩個不共線的向量，向量+λ與－(－2)共線的充要條件是λ等于
A．0 B．－
4．等比數列
是遞增數列，其前n項的積為Tn，若T13=4T9，則a7?a16=
A．2 B．±
5．下面四個命題：
①過空間一點有且僅有一條直線與兩條異面直線都相交；
②與三條兩兩異面的直線都相交的直線有無數條；
③直線a、b異面，過a有且只有一個平面與b平行；
④直線a、b異面，過a有且只有一個平面與b垂直．
其中正確命題的序號是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
6．在△ABC中，sinA=
，cosB=
，則cosC=
A．
B．
C．
D．
7．已知
，則使(1－aix)2<1 (
=1，2，3)都成立的x的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
8．要從10名女生和5名男生中選取6名學生組成課外興趣小組，如果按性別分層抽樣，則能組成課外興趣小組的概率是
A．
B．
C．
D．
9．雙曲線
的一條漸近線與直線2x+y+t=0垂直，則雙曲線的離心率為
A．
B．
C．
D．
10．某地區對一次高三診斷性考試進行抽樣分析：考生成績符合正態分布N
，且“語、數、外、綜”總分平均分為450分，標準差為120．由以往各年的高考情況可知該地區一本上線率約為20%，可劃出該地區這次診斷考試的模擬一本分數線約為（參考數據：
）
A．450 B．
11．若直線
過點M(cosθ,sinθ)，則
A．
B．
C．
D． 
12．十進制“逢10進一”，二進制“逢2進一”，
十六進制“逢16進一”.十進制用0，1，2……9這十個數字記數；二進制只需0，1兩個數字記數；“十六進制”則需用0，1，2，3……9， A，B，C，D，E、F（從小到大）這十六個數字或表示數的字母記數．如：二進制數(110101)2化為十進制數是
，那么十進制數2009等于
A．(11111011001)2 B．(11000110101)
二、填空題：(每小題4分，共16分)
13.在
＝ ；
14.已知
是直線
上的動點
是圓
的兩條切線，
是切點，
是圓心，那么四邊形
面積的最小值時，弦
;
15. 已知
，
為原點，點
的坐標滿足
，則
的最大值是 ___，此時點
的坐標是 _____.
16.下面有五個命題：
①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是
.②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=
}.
③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點.
④把函數
⑤函數
所有正確命題的序號是 .（把你認為正確命題的序號都填上）
三．解答題：
17.（12分）已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3且
的夾角為
，
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）求
的最小值。
18．（本小題滿分12分）
某高校自愿獻血的50位學生的血型分布的情況如下表：
血型
A
B
AB
O
人數
20
10
5
15
（Ⅰ）從這50位學生中隨機選出2人，求這2人血型都為A型的概率；
（Ⅱ）從這50位學生中隨機選出2人，求這2人血型相同的概率；
（Ⅲ）現有一位血型為A型的病人需要輸血，要從血型為A,O的學生中隨機選出2人準備獻血，記選出A型血的人數為
，求隨機變量的分布列及數學期望．
19．（本小題滿分12分）四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點滿足
．
（I）求證：PA⊥平面ABCD； （II）求二面角E－AC－D的大��；
（III）在線段BC上是否存在點F使得PF∥面EAC？若存在，確定F的位置；若不存在，請說明理由。
20、橢圓
的中心在原點
，它的短軸長為
，相應的焦點
（
）的準線
與
軸相交于
，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左焦點作一條與兩坐標軸都不垂直的直線，交橢圓于
兩點，若點
在軸上，且使
為
的一條角平分線，則稱點為橢圓的“左特征點”，求橢圓的左特征點；
（3）根據（2）中結論，猜測橢圓
左特征點位置．
21、設
是正項數列
的前
項和，且
．
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在等比數列
，使
對一切正整數都成立？并證明你的結論．
（3）設
，且數列
的前項和為
，試比較與
的大小．
22、已知函數
（
為實常數）
（1）當
時，求
最小值；
（2）若在
是單調函數，求的取值范圍；
（3）設各項為正的無窮數列
滿足
，證明：
．
雅安中學高2009屆4月月考
數學（理）答案
1―5CBDAB 6―10ABABD 11―12 DA
二、填空題：
13. 答案：
14.答案
解：過圓心C（1，1）作直線
的垂線，垂足為P,這時
四邊形面積的最小值為
，四邊形
中
終邊在y軸上的角的集合是
函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象只有一個交點，因此（3）不正確.
16.答案：①④
17.解（Ⅰ）由題意知
……………………3分
……………………4分
的夾角
……………………6分
（Ⅱ）
……………………9分
有最小值。
的最小值是
……………………12分
18． 解：（Ⅰ）記“這2人血型都為A型”為事件A，那么
，
即這2人血型都為A型的概率是
．
┅┅┅┅4分
（Ⅱ）記“這2人血型相同”為事件B，那么
，
所以這2人血型相同的概率是
．
┅┅┅┅8分
（Ⅲ）隨機變量可能取的值為0，1，2．且
，
，
．
所以的分布列是
0
1
2
的數學期望為E=0×+1×+2×=
．┅┅┅┅12分
19．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC
又∵PB⊥BC ∴BC⊥面PAB ∴BC⊥PA
同理CD⊥PA ∴PA⊥面ABCD 4分
⑵在AD上取一點O使AO=
AD，連接E，O，
則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD 過點O做
OH⊥AC交AC于H點，連接EH，則EH⊥AC，
從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角 6分
在△PAD中，EO＝
AP＝
在△AHO中∠HAO＝45°，
∴HO＝AOsin45°=
，∴tan∠EHO＝
，
∴二面角E－AC－D等于arctan
8分
⑶當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：
∵AD∥2FC，∴
，又由已知有
，∴PF∥ES
∵PF
面EAC，EC
面EAC ∴PF∥面EAC，
即當F為BC中點時，PF∥面EAC 12分
20、解：（1）由條件知
，可設橢圓方程為
又
橢圓方程為
…………4分
（2）設左特征點為
，左焦點為
，可設直線
的方程為
由
與，消去得
又設
，則
①
�、� …………6分
因為為
的角平分線，所以
，即
③
將
與
代入③化簡，得 
④
再將①②代入④得 
即左特征點為
…………10分
（3）橢圓的左準線與軸的交點為
，故猜測橢圓的左特征點為左準線與軸的交點． …………12分
21、解：（1）得
，相減并整理為
又由于
，則
，故是等差數列．
，
，故
……3分
（2）當
時，
可解得，
，猜想
使
成立 …………5分
下面證明
恒成立
令
①
② ②－①可得
…………8分
（3）
則
，故
…………12分
22、解（1）
，當時，
，
時，
時
故
…………3分
（2），顯然
時，符合要求；
當
時，令
故此時在上只能是單調遞減的．
故
或
解得
，可知
…………8分
（3）反證法：不妨設
，由（2）知
故
故
又由（2）知當
時，
，故
，這與上面結論矛盾．
故
同理
…………14分
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