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解：（1）由題意，

   為的中點

      即：橢圓方程為

   （2）當直線與軸垂直時，，此時，四邊形的面積.同理當與軸垂直時，也有四邊形的面積. 當直線，均與軸不垂直時，設:，代入消去得： 設所以，， 所以，

，同理所以四邊形的面積令因為當，且S是以u為自變量的增函數，所以. 

綜上可知，.故四邊形面積的最大值為4，最小值為.

3（漢沽一中2008~2009屆月考文20）．（本小題滿分14分）

  如圖,過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點．

 (1)設點P分有向線段所成的比為λ，證明

(2)設直線AB的方程是x―2y+12=0,過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

20、解(Ⅰ)依題意,可設直線AB的方程為,

代入拋物線方程得： …………… ①       …………………2分

設A、B兩點的坐標分別是（x₁,y₁）、(x₂,y₂),則x₁、x₂是方程①的兩根．

所以

由點P（0，m）分有向線段所成的比為，

 得， 即…………………4分

又點Q是點P關于原點的以稱點，

故點Q的坐標是（0，--m）,從而

          =

                =

               =

  =

          =0，

     所以………………………………………………………7分

 (Ⅱ) 由得點A、B的坐標分別是（6，9）、（--4，4）．

     由得，

  所以拋物線在點A處切線的斜率為．…………………………9分

 設圓C的方程是，

 則　　……………………………11分

  解之得  …………………13分

    所以圓C的方程是．………………………………………………14分

4（2009年濱海新區五所重點學校聯考理21）．（本小題滿分14分）

 設上的兩點，

已知，，若且橢圓的離心率

短軸長為2，為坐標原點.

     (Ⅰ)求橢圓的方程；

    （Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由

解：（Ⅰ）

橢圓的方程為       ……………………3分

（Ⅱ）由題意，設AB的方程為

由已知得：                                    

    ……7分

(Ⅲ) （1）當直線AB斜率不存在時，即,由得……………………8分

又 在橢圓上，所以

所以三角形的面積為定值……………………9分

（2）.當直線AB斜率存在時：設AB的方程為y=kx+b

                            ……………………10分

                  ………………………………………12分    

所以三角形的面積為定值.        ………………………………………14分 

  5（本小題滿分14分）

在直角坐標平面內，已知點， 是平面內一動點，直線、斜率之積為.

(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；

(Ⅱ)過點作直線與軌跡交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

解: (Ⅰ)設點的坐標為，依題意，有

 .                ………………… 3分

化簡并整理，得

.

∴動點的軌跡的方程是.           ………………… 5分

 (Ⅱ)解法一：依題意，直線過點且斜率不為零，故可設其方程為,    …………………………………………………………………………6分

由方程組

   消去，并整理得

設,,則

   ，……………………………………………………… 8分

∴

∴,

,           …………………………………………… 10分

(1)當時，；           …………………………………………… 11分

(2)當時,

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分

解法二：依題意，直線過點且斜率不為零.

(1)   當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，；   …………6分

(2)    當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為,   …………7分

由方程組

   消去，并整理得

設,,則

   ，……………………………………………………… 8分

∴

,

,              ………………… 10分

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分

6（漢沽一中2008~2008學年月考理18）．（本小題滿分13分）設A，B分別是直線和上的兩個動點，并且，動點P滿足．記動點P的軌跡為C．

（I） 求軌跡C的方程；

（II）若點D的坐標為（0，16），M、N是曲線C上的兩個動點，且，求實數的取值范圍．

18．（本小題滿分13分）

解：（I）設P（x，y），因為A、B分別為直線和上的點，故可設

，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲線C的方程為．………………………………………6分

（II） 設N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y-16）= (s，t-16)．

     故，．……………………………………8分

 ∵M、N在曲線C上，

     ∴……………………………………9分

     消去s得  ．

由題意知，且，

     解得   ．………………………………………………………11分

又   ， ∴．

     解得  （）．

   故實數的取值范圍是（）．………………………………13分

7（和平區2008年高考數學(文)三模22）. （本小題滿分14分）

已知點，點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且

又。

（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；

（2）若直線與軌跡C交于A、B兩點，AB中點N到直線的距離為，求m的取值范圍。

22. （本小題滿分14分）

解：（1）設

由得（2分）

∴ ，即（4分）

由

∴   （6分）

（2）由消去得

由N是AB的中點     ∴ （8分）

又由已知

∴

∵ ，    ∴ （11分）

令，則

雙

綜合      ∴ （14分）

8（和平區2008年高考數學(理)三模22）. （本小題滿分14分）

在平面直角坐標系中，線段AB與y軸交于點，直線AB的斜率為K，且滿足。

（1）證明：對任意的實數，一定存在以y軸為對稱軸且經過A、B、O三點的拋物線C，并求出拋物線C的方程；

（2）對（1）中的拋物線C，若直線與其交于M、N兩點，求

∠MON的取值范圍。

22. （本小題滿分14分）

解：（1）由已知設①

又設拋物線②

由①②得（2分）

設，則

由弦長公式得

（4分）

∴

而，所以

即拋物線方程為（6分）

（2）設

由

而

則，，，（7分）

不妨設，由于，則

令，則ON到OM的角為，且滿足

（9分）

令，則，且
    ∴ （10分）

函數與在上皆為增函數

∴

∴ （12分）

則（13分）

又時，

∴   （14分）

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