題目列表(包括答案和解析)
21．(本小題滿分14分)設函數(shù)
.
(Ⅰ)在區(qū)間
上畫出函數(shù)
的圖像；
(Ⅱ)設集合
. 試判斷集合
和
之間的關系，并給出證明；
(Ⅲ)當
時，求證：在區(qū)間
上，
的圖像位于函數(shù)圖像的上方
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)方程
的解分別是
和
，由于在
和
上單調(diào)遞減，在
和
上單調(diào)遞增，因此
.
由于
.
(Ⅲ)[解法一] 當
時，
.
，
. 又
，
①
當
，即
時，取
，
.
，
則
.
②
當
，即
時，取
， ＝
.
由 ①、②可知，當時，
，.
因此，在區(qū)間上，
的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
[解法二] 當時，.
由
得
，
令 
，解得 
或
，
在區(qū)間上，當時，
的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點
；
當時，
的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點.
如圖可知，由于直線過點
，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.
20．(本小題滿分14分)已知：定義在R上的函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，且在
上是增函數(shù).
(Ⅰ)求證：f (x)在
上也是增函數(shù)；
(Ⅱ)對任意
，求實數(shù)m的取值范圍，使不等式
恒成立.
解：(Ⅰ)證明：設
，且
，
則
，且
.
∵
在
上是增函數(shù)，∴
.
又為奇函數(shù)，∴
,
∴
, 即在
上也是增函數(shù).
(Ⅱ)∵函數(shù)在和上是增函數(shù)，且在R上是奇函數(shù)，
∴在
上是增函數(shù).
于是
.
∵當
時，
的最大值為
，∴當
時，不等式恒成立.
19．(本小題滿分14分)設
為公差大于0的等差數(shù)列，
為數(shù)列的前n項的和.
已知S4=24，
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式
；
(Ⅱ)若
的前n項和
解：(Ⅰ)
由
(Ⅱ)
18．(本小題滿分16分)已知函數(shù)
.
(Ⅰ)求
的最小正周期及遞減區(qū)間；
(Ⅱ)指出將函數(shù)
的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到函數(shù)的圖象；
(Ⅲ)若
, 求最大值、最小值．
解：(Ⅰ)
∴ 
遞減區(qū)間
(Ⅱ)先把各點的橫坐標縮小到原來的
(縱坐標不變)，再向左平移
個單位，再把縱坐標擴大到原來的
倍(橫坐標不變)而得到函數(shù)的圖象
(Ⅲ)
當
即
時 
當
即
時 
17．(本小題滿分12分)有四個正數(shù)
，前三數(shù)成等比數(shù)列，其和為
；后三數(shù)成等差數(shù)列，其和為
．
(Ⅰ)求此四數(shù)；
(Ⅱ)分別求以
為前三項的等比數(shù)列的前
項和與以
為前三項的等差數(shù)列的
前項和
；
(Ⅲ)比較與
的大小．
解：(Ⅰ)依題意有
解得四數(shù)依次為
或
，因為四數(shù)均為正數(shù)。所以所求四數(shù)依次為
(Ⅱ)
，
(Ⅲ)當
時，
當
時，
16．給出下列四個函數(shù)：①
;②
;③
;④
,對于其定義域內(nèi)的任意的
成立的函數(shù)為 ②③
15．定義運算
為：
，例如，
，則函數(shù)
的值域[－1，
]
14．已知
且
則A∩B= 
13．已知
是偶函數(shù)，則函數(shù)
的圖象的對稱軸是 
12．一條信息，若一人得知后，一小時內(nèi)將信息傳給兩人，這兩人又在一小時內(nèi)各傳給未知信息的另外兩人.如此下去，要傳遍55人的班級所需時間大約為__5_____小時.
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