Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，點E為AD上一點，BE ⊥ AC于F點．

（1）若AE=AD，△AEF的面積為1時，求△ABC的面積；

（2）若AD = 4，tan∠EAF =，求AF的長；

（3）若tan∠EAF =，連接DF，證明DF=AB．

Answer 1

【答案】(1)12;（2）;(3）見解析.

【解析】分析：證明三角形相似，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出.

利用正切得到 AB = DC = 2，tan∠ABF = ，即BF=2AF，用勾股定理即可求出的長.

∠EAF =∠ABF，tan∠EAF =，可以得到,可以推出E為AD中點，

延長BE、CD交于點G，易證△ABE ≌△DGE，即可證明.

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AD = BC，,

∴ ,

∵S△AEF = 1,

∴S△CBF = 9S△AEF = 9，S△ABF = 3S△AEF = 3,

∴S△ABC = S△ABF + S△CBF = 12.

（2）∵AD = 4，tan∠EAF =,

∴

∴AB = DC = 2,

∵∠EAF + ∠BAF = 90°，∠BAF + ∠ABF = 90° ,

∴∠EAF = ∠ABF,

∴ tan∠ABF = ，即BF=2AF,

∵AF2 + BF2 = AB2,

∴

∴AF =.

（3）∵∠EAF =∠ABF，tan∠EAF =,

∴，,

∴,

∴ ,

∴E為AD中點,

延長BE、CD交于點G,

易證△ABE ≌ △DGE,

∴DG = AB = DC,

∴DF = DC.