Question

【題目】把一個函數圖象上每個點的縱坐標變為原來的倒數（原函數圖象上縱坐標為0的點除外）橫坐標不變，可以得到另一個函數的圖象，我們稱這個過程為倒數變換．

例如：如圖1，將y＝x的圖象經過倒數變換后可得到y＝的圖象．特別地，因為y＝x圖象上縱坐標為0的點是原點，所以該點不作變換，因此y＝的圖象上也沒有縱坐標為0的點．

（1）請在圖2中畫出y＝﹣x﹣1的圖象和它經過倒數變換后的圖象；

（2）觀察上述圖象，結合學過的關于函數圖象和性質的知識．

①猜想：倒數變換得到的圖象和原函數的圖象之間可能有怎樣的聯系？寫出兩條即可．

②說理：請簡要解釋你其中一個猜想；

（3）設圖2中的圖象的交點為A，B，若點C的坐標為（﹣1，m），△ABC的面積為6，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①猜想一：倒數變換得到的圖象和原函數的圖象之間如果存在交點，則其縱坐標為1或﹣1；猜想二：倒數變換得到的圖象和原函數的圖象的對稱性相同，比如原函數是軸對稱圖形，則倒數變換的圖象也是軸對稱圖象；②猜想一：說理見解析；（3）m＝±6．

【解析】

（1）根據描點法畫出y＝﹣x﹣1的圖象，并運用函數圖象上每個點的縱坐標變為原來的倒數在平面直角坐標系中畫出y＝﹣x﹣1經過倒數變換后的圖象.

（2）①猜想一：倒數變換得到的圖象和原函數的圖象之間如果存在交點，則其縱坐標為1或﹣1；猜想二：倒數變換得到的圖象和原函數的圖象的對稱性相同，比如原函數是軸對稱圖形，則倒數變換的圖象也是軸對稱圖象.

②進而利用只有1和﹣1的倒數是其本身，所以如果原函數存在一個點的縱坐標為1或﹣1，分析即可.

（3）聯立兩個函數關系式求得A,B點的坐標，將點C的坐標為（﹣1，m）代入△ABC的面積列出含m的代數表達式并使得值為6，進而求出m.

解：（1）在平面直角坐標系中畫出y＝﹣x﹣1的圖象和它經過倒數變換后的圖象如圖：

圖中去掉（﹣1，0）的點；

（2）①猜想一：倒數變換得到的圖象和原函數的圖象之間如果存在交點，則其縱坐標為1或﹣1；

猜想二：倒數變換得到的圖象和原函數的圖象的對稱性相同，比如原函數是軸對稱圖形，則倒數變換的圖象也是軸對稱圖象；

②猜想一：因為只有1和﹣1的倒數是其本身，所以如果原函數存在一個點的縱坐標為1或﹣1，那么倒數變換得到的圖象上必然也存在這樣對應的縱坐標為1或﹣1，即兩個函數圖象的交點．

（3）解得或，

∴A（﹣2，1），B（0，﹣1），

∵C（﹣1，m），

∴S△ABC＝|m|×2＝6，

解得|m|＝6，

∴m＝±6．