Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)（不與A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D．

（1）直接寫出∠NDE的度數(shù)；

（2）如圖2、圖3，當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；

（3）如圖4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD= ，其他條件不變，求線段AM的長．

Answer 1

【答案】（1）∠NDE=90°；（2）不變；（3）．

【解析】

試題分析：（1）證明△MAC≌△NBC即可；

（2）與（1）的證明方法相似，證明△MAC≌△NBC即可；

（3）作GK⊥BC于K，證明AM=AG，根據(jù)△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出AG的長，得到答案．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，在△MAC和△NBC中，∵AC=BC，∠ACM=∠BCN，MC=NC，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，∴∠NDE=90°；

（2）不變，在△MAC≌△NBC中，∵AC=BC，∠ACM=∠BCN，MC=NC，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，又∵∠MFD=∠NFC，∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；

（3）作GK⊥BC于K，∵∠EAC=15°，∴∠BAD=30°，∵∠ACM=60°，∴∠GCB=30°，∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，∴AM=AG，∵△MAC≌△NBC，∴∠MAC=∠NBC，∴∠BDA=∠BCA=90°，∵BD=，∴AB=，AC=BC=，設(shè)BK=a，則GK=a，CK=，∴，∴a=1，∴KB=KG=1，BG=，AG=，∴AM=．