Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是ts．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）求證：AE＝DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；

（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當t＝10時，AEFD是菱形；（3）當t＝時，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；當t＝12時，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，根據已知條件求得∠C＝30°，由題意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm；在直角△CDF中，根據30°角直角三角形的性質可得DF＝CD＝2tcm，由此即可證得DF＝AE；（2）由DF∥AB，DF＝AE，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形AEFD是平行四邊形，當AD＝AE時，四邊形AEFD是菱形，即可得60﹣4t＝2t，解得t＝10，即當t＝10時，AEFD是菱形；（2）能，分∠EDF＝90°和∠DEF＝90°兩種情況求t的值即可．

（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，

∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．

由題意可知，CD＝4tcm，AE＝2tcm，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2tcm，

∴DF＝AE；

（2）∵DF∥AB，DF＝AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當AD＝AE時，四邊形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即當t＝10時，AEFD是菱形；

（3）當t＝時△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；當t＝12時，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．

理由如下：

當∠EDF＝90°時，DE∥BC．

∴∠ADE＝∠C＝30°

∴AD＝2AE

∵CD＝4tcm，

∴DF＝AE＝2tcm，

∴AD＝2AE＝4tcm，

∴4t+4t＝60，

∴t＝時，∠EDF＝90°．

當∠DEF＝90°時，DE⊥EF，

∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠DEA＝30°，

∴AD＝AE，

AD＝AC﹣CD＝60﹣4t（cm），AE＝DF＝CD＝tcm，

∴60﹣4t＝t，

解得t＝12．

綜上所述，當t＝時△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；當t＝12時，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．