Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，以點M（4，0）為圓心，MO為半徑的半圓交x軸于點A，P為半圓上的一個動點，以點P為直角頂點在OP上方作Rt△OPB，且OP=2PB，OB交半圓于點Q.

（1）當P為半圓弧的中點時，求△OPB的面積.

（2）在運動過程中，求MB的最大值.

（3）在運動過程中，若點Q將線段OB分為1：2的兩部分，求出此時點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）；（3）P（，）或（，）.

【解析】

（1）由P為半圓弧的中點可知PM⊥OA，P（4，4），根據勾股定理求得OP=4， 由已知條件可得PB=2， 根據三角形的面積公式計算即可.

（2）連結AP，易證得B,P,A三點共線；在△OAB中，兩高線OP和AQ的交點C，則BC垂直于x軸，易得BM≤BC+CM，當B，C，M在同一直線上時，BM=BC+CM，BM取得最大值，求出此時的BM值即可.

（3）由點Q將線段OB分為1：2的兩部分，可知OQ：BQ=2:1或OQ：BQ=1:2；連接AQ，設出未出知數，結合△OPB~△AQB，用未知數表示出AP和OP；在Rt△OAP中，由勾股定理構造方程解出未知數；并相應的求出點P的橫、縱坐標即可.

（1）∵P為半圓弧的中點，M（4，0），⊙M半徑為4，

∴P（4，4），PM⊥OA，

∴OP=，

∵OP=2PB，

∴PB=2，

在Rt△OPB中，

∴SRt△OPB=×PB×OP=.

∴△OPB的面積為8.

（2）連結AP，AQ交OP于點C，

∵OA是半圓M的直徑，

∴∠APO=∠AQO=90°,

又∵∠OPB=90°,

∴∠OPB+∠APO=180°,

∴點B,P,A三點共線，

連結BC，CM，BM，

∵在△OAB中，AQ和OP都是△OAB的高線，C是AQ和OP的交點，

∴直線BC⊥OA，

∵BM≤BC+CM，

∴當B，C，M在同一直線上時，BM=BC+CM，BM取得最大值，此時BM⊥OA，

又∵OM=AM，

∴OB=AB.

設BP=x，則OP=2x，AB=OB=x，AP=x-x=（-1）x，

在Rt△OPA中，∵OP2+AP2=OA2 ，

∴（2x）2+（-1）x2=82 ，

解得x2=.

在Rt△OBM中，

∵BM2=OB2-OM2 ，

∴BM=

（3）連結AQ，過點P作PN⊥OA于N，

①當OQ：BQ=2:1，設BP=3x，則OP=6x，OB=x，則OQ=2x，BQ=x.

∵∠OPB=∠AQB=90°，∠B=∠B，

∴△OPB~△AQB，

∴，

則，即AB=5x，

則AP=AB-BP=2x，

在Rt△OPA中，由OP2+AP2=OA2 ， 得(6x)2+(2x)2=82 ，

解得x2=

∵S△OPA=,

∴PN=，

則ON=，

∴點P（，）.

②當OQ：BQ=1:2，設BP=3x，則OP=6x，OB=3x，則OQ=x，BQ=2x.

∵∠OPB=∠AQB=90°，∠B=∠B，

∴△OPB~△AQB，

∴，

則，即AB=10x，

則AP=AB-BP=7x，

在Rt△OPA中，由OP2+AP2=OA2 ， 得（6x）2+（7x）2=82 ，

解得x2=.

∵S△OPA=,

∴PN=，

則ON=，

∴點P（，）.

綜上所述，P（，）或（，）.