Question

下列說法中：
①函數y=

6-x2

|x+3|-3

為奇函數；
②奇函數的圖象一定通過直角坐標系的原點；
③函數y=2 

1

x

的值域是（0，+∞）；
④若函數f（2x）的定義域為[1，2]，則函數f（2^x）的定義域為[1，2]；
⑤函數y=lg（-x²+2x）的單調遞增區間是（0，1]．
其中正確的序號是

 

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：①判斷函數y=f（x）是定義域上的奇函數；
②舉例說明奇函數的圖象不一定過直角坐標系的原點；
③求出函數y=2 

1

x

的值域；
④當函數f（2x）的定義域為[1，2]時，求出函數f（2^x）的定義域是什么；
⑤求出函數y=lg（-x²+2x）的單調增區間是什么．

解答： 解：對于①，∵函數y=f（x）=

6-x2

|x+3|-3

的定義域是（-

6

，0）∪（0，

6

），
任取x∈（-

6

，0），則f（x）=

6-x2

x+3-3

=

6-x2

x

，-x∈（0，

6

），
∴f（-x）=-f（x）；同理，x∈（0，

6

）f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數，①正確；
對于②，奇函數的圖象不一定通過直角坐標系的原點，
如f（x）=

1

x

是減函數，但在原點處無意義，∴②錯誤；
對于③，∵x=0時，函數y=2

1

x

無意義，
∴函數y=2 

1

x

的值域是（0，1）∪（1，+∞），∴③錯誤；
對于④，當函數f（2x）的定義域為[1，2]時，2≤2x≤4，
即2≤2^x≤4，∴1≤x≤2，
即函數f（2^x）的定義域為[1，2]，④正確；
對于⑤，∵函數y=lg（-x²+2x）的定義域是（0，2），
且x∈（0，1]時，函數y是增函數，
∴函數y的單調增區間是（0，1]，⑤正確．
綜上，正確的命題序號是①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查了通過命題真假的判斷，考查了函數的奇偶性，單調性以及求函數的定義域、值域的問題，是綜合題目．