Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時x的集合；
（2）若銳角三角形ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=2，b=

6

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形

分析：（1）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，再由正弦函數的最值，即可得到；
（2）由正弦定理和三角形的面積公式，計算即可得到．

解答： 解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x，
即f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f(x)max=

2

．由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，則x=kπ+

π

8

，k∈Z．
即x的取值集合為{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；
（2）由（1）得f(

A

2

)=

2

sin(2•

A

2

+

π

4

)=

2

．
∵A是△ABC的內角，∴A=

π

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得

2

sin π 4

=

6

sinB

，
即sinB=

3

2

，得B=

π

3

，得C=

5π

12

．
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•2•

6

•

6 + 2

4

=

3+ 3

2

．

點評：本題考查三角函數的化簡和求最值，考查正弦定理和面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．