Question

證明：若在（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，則f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂），其中λ₁+λ₂=1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意可判斷f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上凸函數(shù)，再由凸函數(shù)的定義證明．

解答： 證明：∵在（a，b）內(nèi)f″（x）＞0，
∴f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上凸函數(shù)；
而根據(jù)上凸函數(shù)的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”；
故取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，
而任意正數(shù)λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）；
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對(duì)于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了凸函數(shù)的判斷與凸函數(shù)的定義的應(yīng)用及判斷，屬于基礎(chǔ)題．