Question

【題目】如圖所示，有一塊半徑長為1米的半圓形鋼板，現要從中截取一個內接等腰 梯形部件ABCD，設梯形部件ABCD的面積為平方米．

（1）按下列要求寫出函數關系式：

①設（米），將表示成的函數關系式；

②設，將表示成的函數關系式．

（2）求梯形部件ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）．

【解析】

試題分析：（1）①梯形上底和下底確定，故需表示梯形高即可．過點C作于E,則在中，，故梯形面積為；②思路與第一問相同，不同的是變量的選取差異，在中，，則梯形上、下底分別為和2，高為，故梯形面積為

；（2）以為例，函數解析式變形為

，利用導數求被開方數的最大值即可.

試題解析：如圖所示，以直徑所在的直線為軸，線段中垂線為軸，建立平面直角坐標系，過點C作于E，

（1）①∵，∴，

∴

4分

②∵，∴，

∴， 8分

（說明：若函數的定義域漏寫或錯誤，則一個扣1分）

（2）（方法1）∴，

令，

則， 10分

令，，（舍）． 12分

∴當時，，∴函數在（0，）上單調遞增，

當時，，∴函數在（，1）上單調遞減， 14分

所以當時，有最大值， 16分

答：梯形部件面積的最大值為平方米．

（方法2） ∴

， 10分

令，得，即，（舍）， 12分

∴當時， ，∴函數在上單調遞增，

當時，，∴函數在上單調遞減 ， 14分

所以當時， 16分

答：梯形部件ABCD面積的最大值為平方米．