Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，其長軸長和短軸長之比為

3

：1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設F為橢圓C的右焦點，T為直線x=t（t∈R，t≠2）上縱坐標不為0的任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．若OT平分線段PQ（其中O為坐標原點），求t的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設直線PQ的方程為x=my+2．將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立，得（m²+3）y²+4my-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結合已知條件能求出t=3．

解答： 解：（1）由已知可得

2c=2 a2-b2 =4 a= 3 b

，解得a²=6，b²=2．
∴橢圓C的標準方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由（1）可得，F點的坐標是（2，0）．
設直線PQ的方程為x=my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立，得

x=my+2 x2 6 + y2 2 =1

，
消去x，得（m²+3）y²+4my-2=0，其判別式△=16m²+8（m²+3）＞0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=

-4m

m2+3

，y₁y₂=

-2

m2+3

．于是x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=

12

m2+3

．
設M為PQ的中點，則M點的坐標為（

6

m2+3

，

-2m

m2+3

）．
∵TF⊥PQ，所以直線FT的斜率為-m，其方程為y=-m（x-2）．
當x=t時，y=-m（t-2），所以點T的坐標為（t，-m（t-2）），
此時直線OT的斜率為

-m(t-2)

t

，其方程為y=

-m(t-2)

t

x，
將M點的坐標為（

6

m2+3

，

-2m

m2+3

）代入上式，得

-2m

m2+3

=

-m(2-t)

t

•

6

m2+3

．
解得t=3．

點評：本題考查橢圓C的標準方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法，查滿足條件的點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理及中點坐標公式的合理運用．