Question

設

a

，

b

是不共線的兩個非零向量，記

OM

=ma，

ON

=nb，

OP

=αa+βb，其中m，n，α，β均為實數，m≠0，n≠0，若M、P、N三點共線，則

α

m

+

β

n

=

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：平面向量及應用

分析：M、N、P三點共線，則存在實數λ，使得

MP

=λ

PN

，利用向量的運算可得

OP

=

m

1+λ

a

+

λn

1+λ

b

，由于

a

，

b

不共線，可得

α= m 1+λ β= λn 1+λ

，即可得出．

解答： 解：若M、N、P三點共線，則存在實數λ，使得

MP

=λ

PN

，
∴

OP

-

OM

=λ(

ON

-

OP

)，
化為(1+λ)

OP

=

OM

+λ

ON

，
∴

OP

=

OM +λ ON

1+λ

=

m

1+λ

a

+

λn

1+λ

b

，
∵

a

，

b

不共線，
∴

α= m 1+λ β= λn 1+λ

，
∴

α

m

+

β

n

=

1

1+λ

+

λ

1+λ

=1．
故答案為：1．

點評：本題考查了向量共線定理、共面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．