Question

已知命題p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立；命題q：不等式ax²+2x-1＞0有解；若命題p是真命題，命題q是假命題，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：由題條件，先解出兩個命題為真命題時a的取值范圍，再根據命題p是真命題，同時命題q是假命題，即可求得a的取值范圍．

解答： 解：依題意，p為真命題時，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

≤3，
∴a²-5a-6≥0，
∴a≥6或a≤-1，
q為真命題，即不等式ax²+2x-1＞0有解，
當a=0時，2x-1＞0有解x＞

1

2

；
當a＞0時，顯然不等式ax²+2x-1＞0有解；
當a＜0時，不等式ax²+2x-1＞0有解?△=4-4a×（-1）=4+4a＞0，解得-1＜a＜0；
綜上所述，命題q為真命題，則a＞-1．
∵命題p是真命題，命題q是假命題，
∴

a≥6或a≤-1 a≤-1

，解得：a≤-1．
故答案為：a≤-1．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，求解本題關鍵是對p條件中恒成立問題的正確轉化以及命題q正確時a的取值范圍的確定，考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．