Question

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB），則△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：由條件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，當且僅當b=c=2時，取等號，此時，△ABC為等邊三角形，從而求得它的面積

1

2

bcsinA的值．

解答： 解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=c（sinC-sinB），
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=4．
再利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，∴bc≤4，當且僅當b=c=2時，取等號，
此時，△ABC為等邊三角形，它的面積為

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
故答案為：

3

．

點評：本題主要考查正弦定理的應用，基本不等式，屬于中檔題．