Question

【題目】已知函數 （ m 為常數）．

（Ⅰ）若曲線 y f x 在點 0, f 0 處的切線斜率為 1 ，求實數 m 的值．

（Ⅱ）求函數 f x 的極值．

（Ⅲ）證明：當 x 0 時，．

Answer 1

【答案】（1）m = 2 ；（2）f (x)的極小值為，無極大值；（3）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出f′（x）=ex﹣m，（m∈R），f′（0）=1﹣m，利用導數的幾何意義能求出m；（Ⅱ）由f′（x）=ex﹣m，（m∈R），函數f（x）定義域為（﹣∞，+∞），利用導數性質能求出f（x）的極值；（Ⅲ）設函數g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x，當m=2時，g′（x）=f（x）≥f（ln2），由g′（x）＞0恒成立，能證明ex＞x2．

（Ⅰ）∵函數f（x）=ex﹣mx（m為常數），

∴f′（x）=ex﹣m，（m∈R），∴f′（0）=1﹣m，

∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））的切線斜率為﹣1，

∴f′（0）=1﹣m=﹣1，

解得m=2．

（Ⅱ）∵f′（x）=ex﹣m，（m∈R），

函數f（x）定義域為（﹣∞，+∞），

當m≤0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，

此時沒有極值；

當m＞0時，令f′（x）=0，解得x=lnm，

則隨著x的變化，f′（x），f（x）變化如下表：

x	（﹣∞，lnm）	lnm	（lnm，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

由上表知函數f（x）在（lnm，+∞）上單調遞增，在（﹣∞，lnm）上單調遞減，

則在x=lnm處取得極小值f（lnm）=elnm﹣mlnm=m（1﹣lnm），

無極大值．

證明：（Ⅲ）設函數g（x）=ex﹣x2，

則g′（x）=ex﹣2x，

由（Ⅱ）知m=2時，g′（x）=f（x）≥f（ln2），

∵f（ln2）=2（1﹣ln2）＞0，∴g′（x）＞0恒成立，

即函數g（x）在R上遞增，

∵g（0）=1，∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，

∴ex＞x2．