Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分別是棱AD，PC的中點
（1）求證：EF⊥平面PBC
（2）若直線PC與平面ABCD所成角為 ，點P在AB上的射影O在靠近點B的一側，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB的中點G，連接AQ，FG，

∵PA=AB，∴AG⊥PB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AG，

∵PB∩BC=B，

∴AG⊥平面PBC

∵E、F分別是棱AD，PC的中點，

∴FG∥AE，FG=AE，

∴四邊形AEFG是平行四邊形，

∴EF∥AG，

∴EF⊥平面PBC

（2）解：作PO⊥AB=0，則PO⊥平面ABCD，

連接OC，則∠PCO= ，

∴PO=OC，設AO=x，則 = ，解得x=2，

以O為原點，建立空間直角坐標系，

則P（0，0， ），A（﹣2，0，0），C（1，2，0），

D（﹣2，2，0），E（﹣2，1，0），F（ ），

，，

設平面PEF的法向量 ，

則 ，取x=1，得 =（1，﹣3，﹣ ），

設平面AEF的法向量 ，

∵ ，

∴ ，取a=1，得 ，

設二面角P﹣EF﹣A的平面角為α，

則cosα=|coss＜ ＞|=| |= ．

∴二面角P﹣EF﹣A的余弦值為 ．

【解析】（1）取PB的中點G，連接AQ，FG，則AG⊥PB，BC⊥AB，從而BC⊥平面PAB，BC⊥AG，由此能證明EF⊥平面PBC．（2）作PO⊥AB=0，連接OC，以O為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P﹣EF﹣A的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．