Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，F₁，F₂分別為左、右焦點，離心率為e，半長軸長為a．
（1）若焦距長2c=4

2

，且

2

3

、e、

4

3

成等比數列，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l：ex-y+a=0與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，P是直線l與橢圓C的一個交點，且

MP

=λ

MN

，求λ的值；
（3）若不考慮（1），在（2）中，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由于焦距長2c=4

2

，可得c=2

2

．由

2

3

、e、

4

3

成等比數列，可得e=

2 2

3

=

c

a

，a=3，利用b²=a²-c²即可得出．
（2）在（1）的條件下，直線l：ex-y+a=0為2

2

x-3y+9=0，與x軸、y軸分別相交于M(-

9 2

4

，0)、N（0，3）兩點，設P（x₀，y₀），與橢圓方程聯立化為x2+4

2

x+8=0，解得P(-2

2

，

1

3

)．由

MP

=λ

MN

，利用向量坐標運算、向量相等即可得出．
（3）直線l：ex-y+a=0與x軸、y軸分別相交于M(

a2

c

，0)、N（0，a）兩點，與橢圓方程聯立可得（x+c）²=0，解得P(-c，

b2

a

)．由于

MP

=λ

MN

，可得λ=e²+1，即可得出．

解答： 解：（1）∵焦距長2c=4

2

，∴c=2

2

，
由

2

3

、e、

4

3

成等比數列，可得e2=

2

3

×

4

3

，解得e=

2 2

3

=

c

a

，
∴a=3，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

9

+y2=1；
（2）在（1）的條件下，直線l：ex-y+a=0為2

2

x-3y+9=0，與x軸、y軸分別相交于M(-

9 2

4

，0)、N（0，3）兩點，
設P（x₀，y₀），則

x

2 0

+9

y

2 0

=9．
聯立

2 2 x-3y+9=0 x2+9y2=9

，化為x2+4

2

x+8=0，解得x=-2

2

，∴y=

1

3

，即P(-2

2

，

1

3

)．
∵

MP

=λ

MN

，∴(

2

4

，

1

3

)=λ(

9 2

4

，3)，∴3λ=

1

3

，解得λ=

1

9

．
（3）直線l：ex-y+a=0與x軸、y軸分別相交于M(

a2

c

，0)、N（0，a）兩點，
聯立

ex-y+a=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，化為（x+c）²=0，解得x=-c，y=

b2

a

．即P(-c，

b2

a

)．
∵

MP

=λ

MN

，
∴-c-

a2

c

=-

λa2

c

，
化為λ=e²+1，
∵e∈（0，1），
∴λ∈（1，2）．

點評：本題可憐蟲橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓位置關系轉化為方程聯立可得交點坐標、向量的坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．