Question

已知函數f（x）=

2x-1

2x+1

．求證：對于任意不小于3的正整數n都有f（n）＞

n

n+1

成立．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3），只需證

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，即證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，也就是證明2ⁿ-1＞2n，利用數學歸納法證明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．

解答： 證明：要證f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3），
只需證

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，即證1-

2

2n+1

＞1-

1

n+1

，也就是證明2ⁿ-1＞2n．
下面用數學歸納法來證明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．
①當n=3時，左邊=7，右邊=6，左邊＞右邊，不等式成立．
②假設當n=k（k∈N^*，且k≥3）時不等式成立，即2^k-1＞2k，
則當n=k+1時，2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+2k-1＞2（k+1），
故當n=k+1時，不等式也成立．
綜上所述，當n∈N^*且n≥3時，2ⁿ-1＞2n成立．
所以f（n）＞

n

n+1

（n∈N^*且n≥3）成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查數學歸納法，掌握數學歸納法是證明步驟是關鍵．