Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=

6

．
（1）證明：PC⊥BD；
（2）若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，AC交于O點(diǎn)，由已知得PO⊥BD，BD⊥AC，從而B(niǎo)D⊥面PAC，由此能證明BD⊥PC．
（2）由V_E-ABC=V_B-AEC，利用等積法能求出三棱錐E-ABC的體積．

解答： （1）證明：連接BD，AC交于O點(diǎn)，（1分）
∵PB=PD，∴PO⊥BD，（2分）
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，（3分）
而AC∩PO=O，∴BD⊥面PAC，（5分）
∴BD⊥PC．（6分）
（2）解：由（1）知BD⊥面PAC，（7分）
S△AEC=

1

2

S△PAC=

1

2

×

6

×2

3

×sin45°=3，（9分）
∴V_E-ABC=V_B-AEC=

1

3

S△AEC•BO=

1

3

×3×

1

2

=

1

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．