Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

，x∈R．
（1）求函數f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值；
（2）若將函數f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到g（x）的圖象，已知g（α）=-

6

5

，α∈（

4π

3

，

11π

6

），求cos（

α

2

-

π

6

）的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用倍角公式將函數進行化簡，結合三角函數的圖象和性質即可求函數f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值；
（2）根據三角函數的圖象關系求出g（x）的表達式，利用三角函數的關系式進行求值即可．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x-

1-cos2x

2

+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]，∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

時，f（x）的最小值為2×（-

3

2

）=-

3

．
當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）的最大值為2×1=2．
（2）若將函數f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再將得到的圖象上各點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到g（x）=2sin（x-

π

3

），
由g（α）=2sinx（α-

π

3

）=-

6

5

，
得sinx（α-

π

3

）=-

3

5

，
∵α∈（

4π

3

，

11π

6

），
∴π-α∈（π，

3π

2

），
是cos（α-

π

3

）=-

4

5

，
∵

π

2

＜

α

2

-

π

6

＜

3π

4

，
∴cos（

α

2

-

π

6

）=-

1+cos(α- π 3 ) 2

=-

1- 4 5 2

=-

10

10

．

點評：本題主要考查三角函數的最值的求解，根據倍角公式將函數化簡是解決本題的關鍵，要求熟練三角函數的圖象和性質．