Question

已知函數f（x）=

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3

x³-x²-3x+3a
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）對任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導 f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），從而由導數求函數的單調增區間；
（Ⅱ）對任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立可化為f_min（x）≥0，從而討論求函數的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

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x³-x²-3x+3a，
∴f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
故當x＜-1或x＞3時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（3，+∞）；
（Ⅱ）對任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立可化為f_min（x）≥0，
①當3a≤3，即0＜a≤1時，f（x）在[a，3a]上是減函數，
f_min（x）=f（3a）=

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（3a）³-（3a）²-3•3a+3a=3a（3a²-3a-2）≥0；
無解；
②當1＜a＜3時，f（x）在[a，3a]上先減后增，
f_min（x）=f（3）=

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•3³-3²-3•3+3a=-9+3a≥0；
無解；
③當a≥3時，f（x）在[a，3a]上為增函數，
故f_min（x）=f（a）=

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•a³-a²-3•a+3a≥0，
化簡得，a≥3．
綜上所述，實數a的取值范圍為a≥3．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．