Question

【題目】已知函數f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期為π． （Ⅰ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移 個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，可得

f（x）= = ．

∵函數的最小正周期為π，∴ =π，解之得ω=1．

由此可得函數的解析式為 ．

令 ，解之得

∴函數f（x）的單調增區間是 ．

（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向左平移 個單位，再向上平移1個單位，可得函數y=f（x+ ）+1的圖象，

∵

∴g（x）= +1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1．

令g（x）=0，得sin2x=﹣ ，可得2x= 或2x=

解之得 或 ．

∴函數g（x）在每個周期上恰有兩個零點，

若y=g（x）在[0，b]上至少含有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，

即b的最小值為 ．

【解析】（I）根據二倍角的三角函數公式與輔助角公式化簡得 ，利用周期公式算出ω=1，得函數解析式為 ．再由正弦函數單調區間的公式，解關于x的不等式即可得到函數f（x）的單調增區間；（II）根據函數圖象平移的公式，得出函數g（x）的解析式為g（x）=2sin2x+1．由此解g（x）=0得sin2x=﹣ ，利用正弦函數的圖象解出 或 ，可見g（x）在每個周期上恰有兩個零點，若g（x）在[0，b]上至少含有10個零點，則b大于或等于g（x）在原點右側的第10個零點，由此即可算出b的最小值．
【考點精析】通過靈活運用兩角和與差的正弦公式和正弦函數的單調性，掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數即可以解答此題．