Question

已知函數f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常數a∈R）．
（1）當a=1時，解不等式f（x）＞

2

x

（2）討論函數f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,函數奇偶性的判斷

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）當a=1時，原不等式可化為

(1-x)[(x+ 1 2 )2+ 3 4 ]

x

＞0，解之即可；
（2）分a=0與a≠0討論，利用奇偶函數的定義判斷即可．

解答： 解：（1）當a=1時，x²+

1

x

＞

2

x

，即x²＞

1

x

，即

(1-x)[(x+ 1 2 )2+ 3 4 ]

x

＞0，

解得：x＞1或x＜0；…（6分）
（2）當a=0時，f（x）=x²，
對任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=（-x）²=x²=f（x），∴f（x）為偶函數．
當a≠0時，f（x）=x²+

a

x

（a≠0，x≠0），
取x=±1，得 f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函數f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．  …．（13分）

點評：本題考查分式不等式的解法，著重考查函數奇偶性的判定，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．