Question

已知函數f（x）=2^x-2^-x，數列{a_n}滿足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數列{a_n}是遞減數列．

Answer 1

考點：數列的函數特性,數列的概念及簡單表示法

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于函數f（x）=2^x-2^-x，數列{a_n}滿足f（log₂a_n）=-2n．代入利用對數的運算性質可得an-

1

an

=-2n，又a_n＞0，解出即可．
（2）由（1）可得an=

1

n2+1 +n

，即可證明其單調性．

解答： （1）解：∵函數f（x）=2^x-2^-x，數列{a_n}滿足f（log₂a_n）=-2n．
∴2log2an-2-log2an=-2n，
∴an-

1

an

=-2n，又a_n＞0，
解得an=

n2+1

-n．
（2）證明：∵an=

1

n2+1 +n

，

n2+1

+n隨著n的增大而增大且大于0，
∴數列{a_n}是遞減數列．

點評：本題考查了數列的通項公式的求法、指數與對數的運算性質、分子有理化，考查了計算能力，屬于基礎題．