Question

某高校在2014年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下表所示．

組號	分組	頻數	頻率
第1組	[160，165）	5	0.050
第2組	[165，170）	n	0.350
第3組	[170，175）	30	p
第4組	[175，180）	20	0.200
第5組	[180，185]	10	0.100
合計		100	1.000

（Ⅰ）求頻率分布表中n，p的值，并補充完整相應的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，則第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，學校決定從6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求第4組至少有1名學生被甲考官面試的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）根據所給的第二組的頻率，利用頻率乘以樣本容量，得到要求的頻數，再根據所給的頻數，利用頻除以樣本容量，得到要求的頻率．
（Ⅱ）因為在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生，而這三個小組共有60人，利用每一個小組在60人中所占的比例，乘以要抽取的人數，得到結果．
（Ⅲ）試驗發生包含的事件是從六位同學中抽兩位同學有C₆²種滿足條件的事件是第4組至少有一名學生被考官A面試有C₂¹C₄¹+1種結果，根據古典概型概率公式得到結果．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，第2組的頻數n=0.35×100=35人，
第3組的頻率p=

30

100

，
（Ⅱ）∵第3、4、5組共有60名學生，
∴利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，
每組分別為：第3組：

30

60

×6=3人，第4組：

20

60

×6=2人，第5組：

10

60

×6=1人，
∴第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人
（Ⅲ）試驗發生包含的事件是從六位同學中抽兩位同學有C₆²=15種
滿足條件的事件是第4組至少有一名學生被考官A面試有C₂¹C₄¹+1=9種結果，
∴至少有一位同學入選的概率為

9

15

=

3

5

點評：本題考查古典概型及其概率公式．考查分層抽樣方法，本題好似一個概率與統計的綜合題目，題目的運算量適中，是一個比較好的題目