Question

求“方程(

3

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)x+(

4

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)x=1的解”有如下解題思路：設(shè)函數(shù)f(x)=(

3

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)x+(

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)x，則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x⁶+x²=（2x+3）³+2x+3的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：計(jì)算題,推理和證明

分析：類比求“方程(

3

5

)x+(

4

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)x=1的解的解題思路，設(shè)f（x）=x³+x，利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）在R上單調(diào)遞增，從而根據(jù)原方程可得x²=2x+3，解之即得方程x⁶+x²=（2x+3）³+2x+3的解集．

解答： 解：類比上述解題思路，設(shè)f（x）=x³+x，由于f′（x）=3x²+1≥0，則f（x）在R上單調(diào)遞增，
由x⁶+x²=（2x+3）³+2x+3即（x²）³+x²=（2x+3）³+2x+3，
∴x²=2x+3，
解之得，x=-1或x=3．
所以方程x⁶+x²=（2x+3）³+2x+3的解集為{-1，3}．
故答案為：{-1，3}．

點(diǎn)評：本題主要考查了類比推理，考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．