Question

已知函數(shù)f（x）=-

3

sinx+3cosx．若x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0，則|x₁+x₂|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為=-2

3

sin（x-

π

3

），由題意可得|x₁+x₂|的最小值等于函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點的2倍，求出函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點，即可求得結果．

解答： 解：∵f（x）=-

3

sinx+3cosx=2

3

sin（

π

3

-x）=-2

3

sin（x-

π

3

），x₁•x₂＞0，且f（x₁）+f（x₂）=0，
∴x₁+x₂ 等于函數(shù)的零點的2倍，
∴|x₁+x₂|的最小值等于函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點的2倍．
∴令-2

3

sin（x-

π

3

）=0 可得sin（x-

π

3

）=0，x-

π

3

=kπ，k∈z．故函數(shù)f（x）的絕對值最小的零點為

π

3

，故|x₁+x₂|的最小值為

2π

3

，
故答案為：

2π

3

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，求函數(shù)的零點，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．