Question

設向量

α

，

β

的夾角θ定義：

α

×

β

=|

α

||

β

|sinθ 若平面內互不相等的兩個非零向量

a

，

b

滿足：|

a

|=1，（

a

-

b

）與

b

的夾角為150°，

a

×

b

的最大值為（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、

  2+ 3

  2

• D、

  2+ 3

  4

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,解三角形,平面向量及應用

分析：設

a

=

OA

，

b

=

OB

，則

BA

=

a

-

b

，由已知可得：B點為半徑為1的圓上與OA不重合的動點，運用正弦定理和三角函數的化簡，以及余弦函數的最值，可得答案．

解答： 解：設

a

=

OA

，

b

=

OB

，
則

BA

=

a

-

b

，
∵|

a

|=1，

a

-

b

與

b

的夾角為150°，
∴△OAB中，OA=1，∠OBA=30°，
由正弦定理可得：△OAB的半徑為1，
則B點為圓上與OA不重合的動點，
設∠AOB=θ（0°＜θ＜150°），
由正弦定理可得，AB=2sinθ，OB=2sin（150°-θ），
則

a

×

b

=OA•OBsinθ=2S_△OAB=AB•OB•sin30°
=2sinθsin（150°-θ）=-[cos150°-cos（2θ-150°）]
=

3

2

+cos（2θ-150°），
當θ=75°時，

a

×

b

取得最大值，且為1+

3

2

．
故選C．

點評：本題考查的知識點是平面向量的夾角概念，余弦函數的圖象和性質，是三角函數與向量的綜合應用，難度中檔．