Question

數列{a_n}滿足a₁=2，3（a_n-1）（a_n-a_n+1）=（a_n-1）（a_n+1-1）（n∈N₊）．
（1）證明：數列{a_n-1}是等比數列；
（2）設b_n=na_n+

1-an

anan+1

（n∈N₊），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得（a_n-1）（3a_n-4a_n+1+1）=0，再由a₁=2，得an+1-1=

3

4

an+

1

4

-1=

3

4

(an-1)，a₁-1=1，由此能證明數列{a_n-1}是首項為1，公比為

3

4

的等比數列．
（2）由an-1=(

3

4

)n-1，得b_n=na_n+

1-an

anan+1

=n（

3

4

）^n-1+4[

1

( 3 4 )n-1+1

-

1

( 3 4 )n+1

]，由此利用分組求和法、裂項求和法以及錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵數列{a_n}滿足a₁=2，3（a_n-1）（a_n-a_n+1）=（a_n-1）（a_n+1-1）（n∈N₊），
∴（a_n-1）（3a_n-4a_n+1+1）=0，
解得a_n=1或3a_n-4a_n+1+1=0，
又a₁=2，∴a_n≠1，
∴an+1-1=

3

4

an+

1

4

-1=

3

4

(an-1)，
又a₁-1=1，
∴數列{a_n-1}是首項為1，公比為

3

4

的等比數列．
（2）解：由（1）知an-1=(

3

4

)n-1，∴an=(

3

4

)n-1+1，
b_n=na_n+

1-an

anan+1

=n（

3

4

）^n-1+4[

1

( 3 4 )n-1+1

-

1

( 3 4 )n+1

]，
Sn=(1•a1+

1-a1

a1a2

)+(2a2+

1-a2

a2a3

)+…+(nan+

1-an

anan+1

)
=1•(

3

4

)0+2•(

3

4

)+…+n•(

3

4

)n-1+（1+2+3+…+n）+4[

1

2

-

4

7

+

4

7

-

16

25

+…+

1

( 3 4 )n-1+1

-

1

( 3 4 )n+1

]
=1•(

3

4

)0+2•(

3

4

)+…+n•(

3

4

)n-1+

n(n+1)

2

+4（

1

2

-

1

( 3 4 )n+1

），
設T_n=1•(

3

4

)0+2•(

3

4

)+…+n•(

3

4

)n-1，①
則

3

4

Tn=1•(

3

4

)+2•(

3

4

)2+…+n•(

3

4

)n，②
①-②，得

1

4

T_n=1+

3

4

+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-1-n•（

3

4

）ⁿ
=

1-( 3 4 )n

1- 3 4

-n•（

3

4

）ⁿ
=4-4（

3

4

）ⁿ-n•（

3

4

）ⁿ，
∴T_n=16-（16+n）（

3

4

）ⁿ，
∴S_n=16-（16+n）（

3

4

）ⁿ+

n(n+1)

2

+4（

1

2

-

1

( 3 4 )n+1

）
=18-（16+n）（

3

4

）ⁿ+

n(n+1)

2

-

4

( 3 4 )n+1

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意分組求和法、裂項求和法以及錯位相減法的合理運用．