Question

設函數f（x）與g（x）是定義在同一區間[a，b]上的兩個函數，若對任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤k（k＞0），則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“k度和諧函數”，[a，b]稱為“k度密切區間”．設函數f（x）=lnx與g（x）=

mx-1

x

在[

1

e

，e]上是“e度和諧函數”，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：由“e度和諧函數”，得到對任意的x∈[

1

e

，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，化簡整理得m-e≤lnx+

1

x

≤m+e，
令h（x）=lnx+

1

x

（

1

e

≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m-e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．

解答： 解：：∵函數f（x）=lnx與g（x）=

mx-1

x

在[

1

e

，e]上是“e度和諧函數”，
∴對任意的x∈[

1

e

，e]上，都有|f（x）-g（x）|≤e，
即有|lnx+

1

x

-m|≤e，即m-e≤lnx+

1

x

≤m+e，
令h（x）=lnx+

1

x

（

1

e

≤x≤e），h′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
x＞1時，h′（x）＞0，x＜1時，h′（x）＜0，
x=1時，h（x）取極小值1，也為最小值，
故h（x）在[

1

e

，e]上的最小值是1，最大值是e-1．
∴m-e≤1且m+e≥e-1，
∴-1≤m≤e+1．
故答案為：-1≤m≤1+e

點評：本題考查新定義及運用，考查不等式的恒成立問題，轉化為求函數的最值，注意運用導數求解，是一道中檔題．