Question

【題目】已知點F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，若點P（x0，4）在拋物線C上，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）動直線l：x＝my+1（mR）與拋物線C相交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在定點D（t，0）（其中t≠0），使得kAD+kBD＝0，（kAD，kBD分別為直線AD，BD的斜率）若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）存在，（﹣1，0）.

【解析】

（1）先求出拋物線的準線方程，將拋物線上點到焦點的距離轉化為到準線的距離，列方程即可求得p＝2，從而可得結果；（2）假設存在，設A,B坐標，直線與拋物線聯立得關于y的二次函數方程，兩根之和，兩根之積寫出，利用斜率之和為0，即可求出t的值.

（1）由題意得：拋物線的準線方程：，

∵點P（x0，4）在拋物線C上，

，，

，

所以由題意：，解得：p＝2，

所以拋物線C的方程：y2＝4x；

（2）由題意得，假設存在D（t，0）使得，

設A（x，y），B（x'，y'），，整理得：，

，，

由得

，，

時，使得，

即D點的坐標：（﹣1，0）．