Question

已知函數f（x）=

1

2

x2+2ax-lnx，若f（x）在區間[

1

3

，2]上是增函數，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由題意，f（x）在區間[

1

3

，2]上是增函數可化為f′(x)=x+2a-

1

x

≥0在[

1

3

，2]恒成立，從而再化為最值問題．

解答： 解：∵f（x）在區間[

1

3

，2]上是增函數，
∴f′(x)=x+2a-

1

x

≥0在[

1

3

，2]恒成立，
即2a≥-x+

1

x

在[

1

3

，2]恒成立，
∵-x+

1

x

在[

1

3

，2]上是減函數，
∴(-x+

1

x

)max=

8

3

，
∴2a≥

8

3

即a≥

4

3

．
故答案為：a≥

4

3

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題的處理與應用，屬于中檔題．