Question

函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[a，b]⊆D，使得函數f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區間[a，b]為y=f（x）的“倍值區間”．下列函數中存在“倍值區間”的有

 

．
①f（x）=x²（x≥0）；②f（x）=3^x （x∈R）；
③f（x）=

4x

x2+1

（x≥0）；④f（x）=|x|（x∈R）．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意，根據倍值區間的定義，驗證四個函數是否存在倍值區間即可，先令f（x）=2x，至少有兩個不同的解，且在解構成的區間上單調即可．

解答： 解：①f（x）=x²（x≥0）的倍值區間為[0，2]，故正確；
②如圖，

方程3^x=2x沒有解，
故f（x）=3^x （x∈R）沒有倍值區間；
③f（x）=

4x

x2+1

（x≥0）的倍值區間為[0，1]，故正確；
④方程|x|=2x僅有一個解0；
故f（x）=|x|（x∈R）沒有倍值區間；
故答案為：①③．

點評：本題考查了學生對新定義的接受能力及應用能力，屬于中檔題．