Question

已知f（x）=

3

2

sin2x+cos2x-

3

2

（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間．
（2）當x∈[0，

π

2

]時，方程f（x）-m=0有實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）先化簡求得解析式f(x)=sin(2x+

π

6

)-1，根據正弦函數的圖象和性質即可求得函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間．
（2）先求得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，從而可得f(x)∈[-

3

2

，0]，由f（x）=m，即可求得實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x-1=sin(2x+

π

6

)-1
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)-1…（2分）
∴最小正周期為π…（4分）
令∴z=2x+

π

6

．函數f（x）=sinz-1的單調遞增區間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞增區間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z…（6分）
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
f(x)∈[-

3

2

，0]，
∵f（x）=m，
∴m∈[-

3

2

，0]…（12分）．

點評：本題主要考查了三角函數中的恒等變換應用，正弦函數的圖象與性質，屬于基礎題．