Question

函數f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）寫出φ及圖中x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：余弦函數的圖象,余弦函數的定義域和值域

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由圖觀察可知，函數的圖象過點（0，

1

2

），有

1

2

=cosφ可解得φ的值是

π

3

．由圖觀察可知，函數的圖象過點（x₀，

1

2

），有π×x₀+

π

3

=2π-

π

3

，可解得x₀的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=cos(πx+

π

3

)．根據余弦函數的單調性即可求f（x）在區間[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵由圖觀察可知，函數的圖象過點（0，

1

2

），
∴

1

2

=cosφ，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴可解得φ的值是

π

3

．
∵由圖觀察可知，函數的圖象過點（x₀，

1

2

），
∴

1

2

=cos（π×x₀+

π

3

）
∴π×x₀+

π

3

=2π-

π

3

∴可解得x₀的值是

4

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=cos(πx+

π

3

)．
因為x∈[-

1

2

，

1

3

]，
所以-

π

6

≤πx+

π

3

≤

2π

3

．
所以 當πx+

π

3

=0，即x=-

1

3

時f（x）取得最大值1； 
當πx+

π

3

=

2π

3

，即x=

1

3

時f（x）取得最小值-

1

2

．

點評：本題主要考查了三角函數解析式的求法，余弦函數的定義域和值域，余弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．