Question

設M、N為拋物線C：y=x²上的兩個動點，過M、N分別作拋物線C的切線l₁、l₂，與x軸分別交于A、B兩點，且l₁與l₂相交于點P，若AB=1，求點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：導數的綜合應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P（x，y），M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），由導數求得兩直線的斜率，用點斜式求得 l₁ 的方程，同理求得l₂ 的方程，由此建立x，y 的方程．

解答： 解：設P（x，y），M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），
由y=x²，得y′=2x，∴y′|x=x1=2x₁，
∴l₁ 的方程為 y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²   ①，
同理，l₂ 的方程為 y=2x₂x-x₂²   ②，
令y=0，可求出 A（

x1

2

，0），B（

x2

2

，0）．
∵|AB|=1，∴|x₁-x₂|=2，即|x₁+x₂|²-4x₁x₂ =4，
由①，②，得x=

x1+x2

2

，y=x₁x₂，
故點P（

x1+x2

2

，x₁x₂）．
∴點P的軌跡方程為：y=x²-1，

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，體現了整體運算思想方法，是中檔題．