Question

【題目】在四棱錐P–ABCD中，ABCD是矩形，PA=AB，E為PB的中點．

（1）若過C，D，E的平面交PA于點F，求證：F為PA的中點；

（2）若平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥PA．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）推導出，從而平面PAB，進而CD∥EF，AB∥EF，再由E為PB的中點，能證明F為PA的中點；（2）推導出AE⊥PB，從而AE⊥平面PBC，AE⊥BC，由ABCD是矩形，得AB⊥BC，從而BC⊥平面PAB，由此能證明BC⊥PA．

（1）因為ABCD是矩形，

所以，CD∥AB，又AB平面PAB，CD平面PAB，

所以CD∥平面PAB，

又CD平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB=EF，

所以CD∥EF，

所以AB∥EF，又在△PAB中，E為PB的中點，

所以F為PA的中點．

（2）因為PA=AB，E為PB的中點，所以AE⊥PB，

AE平面PAB又平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，

所以AE⊥平面PBC，

BC平面PBC，所以AE⊥BC，又ABCD是矩形，

所以AB⊥BC，AE∩AB=A，AB，AE平面PAB，

所以，BC⊥平面PAB，

PA平面PAB，所以BC⊥PA．