Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在同一周期內，當x=

π

6

時，f（x）取得最大值2；當x=

2π

3

時，f（x）取得最小值-2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的單調增區間和最值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由題意可求得A的值，

1

2

T=

2π

3

-

π

6

，可得T的值，ω的值，又由題意2sin（2×

π

6

+φ）=2，可解得φ的值，即可求得解析式．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的單調增區間，若x∈[0，

π

2

]時，則可得函數f（x）的單調增區間，根據正弦函數的性質即可求得最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵由題意可得：A=2，

1

2

T=

2π

3

-

π

6

，可得T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∵由題意可得：2sin（2×

π

6

+φ）=2
∴由五點作圖法可得：φ=

π

6

∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（Ⅱ）∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的單調增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z，
∵若x∈[0，

π

2

]時，函數f（x）的單調增區間是[0，

π

6

]．
∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當x=

π

6

時，f（x）_max=2，當x=

π

2

時，f（x）_min=-1．

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題．