Question

【題目】已知數列和滿足：,其中為實數，為正整數．

（1）對任意實數，證明數列不是等比數列；

（2）對于給定的實數，試求數列的前項和；

（3）設，是否存在實數，使得對任意正整數，都有成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 當, ；當時,；

(3) 當時,得,不存在實數滿足要求；

當時,存在實數,其取值范圍是

【解析】

(1)代入求證明矛盾即可.
(2) 由,代入可得再分情況與的情況進行討論即可.

(3)由第(2)問求得的,代入再參變分離求解即可.

(1)假設存在一個實數,使是等比數列,,

由,分別令有,

.又

即,矛盾,

所以不是等比數列.

(2)因為

,又,

所以當,,此時.

當時,,,

此時,數列是以為首項,為公比的等比數列.

(3)要使對任意正整數成立，

則，∴

得.

令,則當為正奇數時,；當為正偶數時,,

的最大值為,的最小值為.

故,即

當時,得,不存在實數滿足要求；

當時,存在實數,使得對任意正整數,都有成立,且的取值范圍是