Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex ， x∈R．
（1）若直線y=kx+1與f （x）的反函數(shù)g（x）=lnx的圖象相切，求實數(shù)k的值；
（2）設(shè)x＞0，討論曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)．
（3）設(shè)a＜b，比較 與 的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ex的反函數(shù)為g（x）=lnx，∴ ．

設(shè)直線y=kx+1與g（x）的圖象相切于點P（x0，y0），則 ，解得 ，k=e﹣2，

∴k=e﹣2．

（2）解：當x＞0，m＞0時，令f（x）=mx2，化為m= ，

令h（x）= ，則 ，

則x∈（0，2）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．

∴當x=2時，h（x）取得極小值即最小值， ．

∴當 時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)為0；

當 時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點的個數(shù)為1；

當 時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m＞0）公共點個數(shù)為2．

（3）解： =

=

= ，

令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），則g′（x）=1+（x﹣1）ex．

g′′（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（0）=0，

∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g(shù)（x）＞g（0）=0．

∵當x＞0時，g（x）=x+2+（x﹣2）ex＞0，且a＜b，

∴ ，

即當a＜b時， ．

【解析】（1）先求出其反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可；（2）由f（x）=mx2 ， 令h（x）= ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出；（3）利用作差法得 = = = ，令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．