Question

【題目】已知橢圓的上、下、左、右四個頂點分別為x軸正半軸上的某點滿足.

(1)求橢圓的方程;

(2)設該橢圓的左、右焦點分別為,點在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長是定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：

(1) 設點的坐標為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設，結合橢圓方程可得，在圓中, 是切點, ，同理可得,則易得結論;法二:設 的方程為，聯立橢圓方程,由根與系數的關系式,結合弦長公式求出，再求出，則結論易得.

試題解析：

(1)設點G的坐標為,可知,

.

因此橢圓的方程是.

(2)方法1:設,則,

=,

∵,∴,

在圓中, 是切點,

∴==,

∴,

同理,∴,

因此△的周長是定值．

方法2:設的方程為,

由,得,

設,則,

∴==

=

,

∵與圓相切,∴,即,

∴,

∵,

∵,∴,

同理可得,

∴,

因此△的周長是定值．