Question

已知（

x

+

1

x2

）ⁿ的展開式中，第3項的系數與第2項的系數比是9：2，求：
（1）展開式中的常數項；
（2）展開式中含x^-10的項的二項式系數．

Answer 1

考點：二項式系數的性質,二項式定理的應用

專題：計算題,二項式定理

分析：（1）利用（

x

+

1

x2

）ⁿ的展開式中，第3項的系數與第2項的系數比是9：2，求出n，再利用通項，令x的指數為0，可得展開式中的常數項；
（2）令x的指數為-10，即可求出展開式中含x^-10的項的二項式系數．

解答： 解：由題意，得：

C 2 n

C 1 n

=

9

2

解得n=10-------------------------------（2分）
所以通項為Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(

1

x2

)r=

C

r 10

x5-

5

2

r-------------------（2分）
（1）由題意5-

5

2

r=0，解得r=2----------------------------------（2分）
所以展開式中的常數項為第三項T3=

C

2 10

=45---------------------（2分）
（2）由題意5-

5

2

r=-10，解得r=6---------------------------（2分）
所以展開式中含x^-10的項為第七項，第七項的二項式系數為

C

6 10

=210---（2分）

點評：本題考查二項式定理的應用，考查二項式系數的性質，考查學生的計算能力，確定通項是關鍵．