Question

【題目】已知函數f（x）=1+ ．
（Ⅰ）是否存在實數a的值，使f（x）為奇函數？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）若a=1，t（2x+1）f（x）＞2x﹣2對x∈R恒成立，求實數f（x）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若存在實數a使函數為R上的奇函數，則f（0）=0 a=﹣2
下面證明a=﹣2時 是奇函數
∵
對定義域R上的每一個x都成立，
∴f（x）為R上的奇函數．
∴存在實數a=﹣2，使函數f（x）為奇函數．
（Ⅱ） ， ，
由t（2x+1）f（x）＞2x﹣2對x∈R恒成立，得t（2x+2）＞2x﹣2，
∵當x∈R時，2x+2＞0，
∴ 對x∈R恒成立，
∵x∈R時，∴2x+2＞2，∴ ，
∴ ，
∴t≥1
【解析】（Ⅰ）若存在實數a使函數為R上的奇函數，則f（0）=0 a=﹣2，再用奇函數的定義證明；
， ，（Ⅱ）由t（2x+1）f（x）＞2x﹣2對x∈R恒成立，得t（2x+2）＞2x﹣2，
由于2x+2＞0，故 對x∈R恒成立，再求 的范圍．
【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．