Question

已知正項等比數列{a_n}滿足a₆=a₇-2a₅，若存在兩項a_m，a_n使得

aman

=2a2，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用等比數列的通項公式可得m+n═6，再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q＞0．
∵滿足a₆=a₇-2a₅，
∴a1q5=a1q6-2a1q4，
化為q²-q-2=0，
解得q=2．
∵存在兩項a_m，a_n使得

aman

=2a2，
∴

a2qm-2•a2qn-2

=2a₂，
∴q^m+n-4=2²，
即2^m+n-4=2²，
∴m+n=6．
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，當且僅當n=2m=4時取等號．
∴

1

m

+

4

n

的最小值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了等比數列的通項公式、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了計算能力，屬于中檔題．