Question

設a∈R，（x-a）⁸的二項展開式中含x⁵項的系數為7，則

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：由條件求得a=-

1

2

，可得a+a²+a³+…+aⁿ 的值，從而求得 

lim

n→∞

(a+a2+…+an)的值．

解答： 解：由于（x-a）⁸的二項展開式中含x⁵項的系數為

C

3 8

•（-a）³=7，∴a=-

1

2

．
∴a+a²+a³+…+aⁿ=

a(1-an)

1-a

=

- 1 2 •[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=-

1

3

[1-(-

1

2

)n]=-

1

3

+

1

3

•(-

1

2

)n，
∴

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

lim

n→∞

[-

1

3

+

1

3

•(-

1

2

)n]=-

1

3

，
故答案為：-

1

3

．

點評：本題主要考查二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，等比數列的前n項和公式，屬于基礎題．