Question

【題目】若正項數列{}滿足：，則稱此數列為“比差等數列”．

（1）請寫出一個“比差等數列”的前3項的值；

（2）設數列{}是一個“比差等數列”

（i）求證：；

（ii）記數列{}的前項和為，求證：對于任意，都有．

Answer 1

【答案】（1）2，4， ；（2）（i）見解析（ii）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意可得，由迭代法，例如代入，可依次得到。（2）由，可知又，所以即，由均值不等式。由>0,可知數列{}單調遞增。所以>1,

由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，an﹣an﹣1≥1，

以上 n﹣1個不等式相加得，an≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），所以

當n≥2時，Sn=a1+a2+a3+…+an

≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2

=﹣2=檢驗n=1也符合，即證。

試題解析：（1）解：一個“比差等數列”的前3項可以是：2，4，；

（2）（i）證明：當n=1時，，

∴===，

∵an＞0，∴，則a1﹣1＞0，即a1＞1，

∴≥2+2=4，

當且僅當時取等號，

則a2≥4成立；

（ii）由an＞0得，an+1﹣an=≥0，

∴an+1≥an＞0，則an+1﹣an=，

由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，an﹣an﹣1≥1，

以上 n﹣1個不等式相加得，an≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），

當n≥2時，Sn=a1+a2+a3+…+an

≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2

=﹣2=，

當n=1時，由（i）知S1=a1＞1≥，

綜上可得，對于任意n∈N*，都有Sn＞．