Question

【題目】已知橢圓，過點的兩條不同的直線與橢圓E分別相交于A，B和C，D四點，其中A為橢圓E的右頂點.

（1）求以AB為直徑的圓的方程；

（2）設以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓相交于M，N兩點，探究直線MN是否經過定點，若經過定點，求出定點坐標；若不經過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）經過定點，.

【解析】

（1）由已知得AB方程：，與橢圓方程聯立可求出，則可求出以AB為直徑的圓的圓心和半徑，進而可求出圓的方程；

（2）當CD斜率存在時，并設CD方程：，與橢圓方程聯立，通過根與系數的關系可得以CD為直徑的圓方程，將其與以AB為直徑的圓的方程作差，可得直線MN的方程，進而可得直線MN過的定點，當CD斜率不存在時，直線MN也過的定點，進而可得答案.

（1）由已知，則，故AB方程：，

聯立直線AB與橢圓方程，消去y可得：，得，即，

從而以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為，

所以圓的方程為，

即.；

（2）①當CD斜率存在時，并設CD方程：，

設，

由，消去y得：，

故，，

從而，

，

而以CD為直徑的圓方程為：，

即①，

且以AB為直徑的圓方程為②，

②-①得直線，

即

整理得，

可得：，

因為AB與 CD兩條直線互異，則，

即，

令，解得，即直線MN過定點；

②當CD斜率不存在時，CD方程：，知，，

則以CD為直徑的圓為，

而以AB為直徑的圓方程，

兩式相減得MN方程：，過點；

綜上所述，直線MN過定點.