Question

若△ABC的外接圓是半徑為1的圓O，且∠AOB=120°，則

AC

•

CB

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用

分析：運用向量的數量積的定義可得，

OA

•

OB

=-

1

2

，再由向量的三角形法則，可得

AC

•

CB

=（

OC

-

OA

）•（

OB

-

OC

），化簡整理，結合余弦函數的值域即可得到范圍．

解答： 解：

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB
=1×1×（-

1

2

）=-

1

2

，
|

OA

+

OB

|=

( OA + OB )2

=

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

=

1+1-2× 1 2

=1
則

AC

•

CB

=（

OC

-

OA

）•（

OB

-

OC

）=-

OA

•

OB

-

OC

2+

OC

•（

OA

+

OB

）
=

1

2

-1+|

OC

|•|

OA

+

OB

|•cosθ=-

1

2

+cosθ，（θ≠

π

3

），
由于-1≤cosθ≤1，且cosθ≠

1

2

，
則-

3

2

≤-

1

2

+cosθ＜0，或0＜-

1

2

+cosθ≤

1

2

．
故答案為：[-

3

2

，0）∪（0，

1

2

]．

點評：本題考查平面向量的數量積的定義和性質，考查向量的三角形法則和余弦函數的值域，考查運算能力，屬于中檔題．